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2014届高三一轮数学(理)复*第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型

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第66讲 随机事件的概率、 古典概型与几何概型 1.(改编)下列事件不是随机事件的是( C ) A.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中 B.A、B 两名国际象棋选手将在一次比赛中对局,B 胜 C.在常温下,水蒸发 D.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8 g 解析:在任何温度下水都可以蒸发,因此“在常温下, 水蒸发”是必然事件,故选 C. 2.(改编)某人将一枚质地不均匀硬币连掷了 1000 次, 正面朝上的情形出现了 600 次,若用 A 表示正面朝上这一 事件,则事件 A 发生的( B ) A.概率为35 B.频率为35 C.频率为 60 D.概率接* 0.6 解析:抛掷一次即进行一次试验,抛掷 1000 次,正面 向上 600 次,即事件 A 的频数为 600,所以 A 的频率为1600000 =35,故选 B. 3.某射击运动员射击命中 9 环以上的概率为 40%,射 击中心用随机模拟的方法估计这名射击运动员三次射击中 命中 9 环以上两次的概率,先由计算器产生 0~9 之间取整 数值的随机数,指定 0,1,2,3 表示命中 9 环以上,4,5,6,7,8,9 表示没有命中 9 环以上,再以每三个随机数为一组,代表 三次射击结果,经随机模拟产生如下 10 组随机数: 431,257,392,023,551,488,731,752,534,989 据此估计该运动员射击三次恰好有两次命中 9 环以上 的概率为 . 解析:表示恰好两次命中 9 环以上的随机数组有: 431,392,731,共三组,因此射击三次恰有两次命中 9 环以上 的概率 P=130=0.3. 4.(2012·嘉兴市质量检测)同时抛掷两个骰子一次,两 点数和为 6 的概率为( A ) A.356 B.158 1 1 C.9 D.6 解析:同时抛掷两个骰子一次,结果共有 36 种,其中 点数之和为 6 的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共 5 种, 所以所求概率为356,故选 A. 5.(2012·南通市教研室全真模拟)在区间[-1,2]内随机 选取一个实数,则该数为正数的概率是 . 解析:由题意知正数的取值区间长度是 2,总长度是 3, 由几何概型的概率计算公式得所求概率为23. 一 古典概型 【例 1】甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,求选出 的 2 名教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,求选出的 2 名教 师来自同一学校的概率. 解析:(1)从甲校和乙校报名的教师中各选 1 名共有 C13·C13=9 种,其中选出的 2 名教师性别相同,共 C21C11+C11·C12 =4 种结果,故所求事件的概率为 P1=49. (2)从报名的 6 名教师中任选 2 名,共有 C62=15 种结果, 其中选出的 2 名教师来自同一学校有 C23+C23=6 种结果,故 所求事件的概率 P2=165=25. 【拓展演练 1】 现有 7 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 的数学 成绩优秀,B1,B2 的物理成绩优秀,C1,C2 的化学成绩优 秀,从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名,组成 一个小组代表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率. 解析:(1)从 7 人中分别选出数学、物理、化学成绩优 秀者各一名,共有 C13C12C21=12 种,而 C1 被选中,共有 C31C12 =6 种,故 C1 被选中的概率 P1=162=12. (2)用 N 表示事件“A1,B1 不全被选中”,由于 A1,B1 全被选中共有 C12=2 种,从而 A1,B1 不全被选中共有 12- 2=10 种,故 P(N)=1102=56. 二 几何概型及计算 【例 2】(1)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内 部的概率等于( ) 1 1 A.4 B.3 1 2 C.2 D.3 (2)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (ⅰ)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (ⅱ)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 ________. (3)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往 单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看 电影;若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球;否则,在家 看书,则小波周末不在家看书的概率为__________. 解析:(1)因为 S△ABE=12|AB|·|BC|,S 矩形=|AB|·|BC|,则 点 Q 取自△ABE 内部的概率 P=SS△矩A形BE=12,故选 C. (2)(ⅰ)圆心到直线的距离为 d= |-32+254| 2=5. (ⅱ)当圆 C 上的点到直线 l 的距离是 2 时有两个点为 点 B 与点 D,设过这两点的直线方程为 4x+3y+a=0,同 时可得到圆心到直线 4x+3y+a=0 的距离为 OC=3. 又圆的半径为 r=2 3,可得∠BOD=60°,由图可知 点 A 在弧 BD 上移动,弧长 l BD =16×c=6c,圆周长为 c, 故 l P(A)= BD c =16. (3)设 A={小波周末去看电影},B={小波周末去打篮 球},C={小波周末在家看书},D={小波周末不在家看 书},如图所示, 则 P(D)=1-?21?2π-π ?14?2π=1136. 【拓展演练 2】 (1)假设车站每隔 10 分钟发一班车,若某乘客随机到达 车站,求其等车时间不超过 3 分钟的概率为



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