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2018-2019版高中数学北师大版必修一课件:第四章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在

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第四章 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在 学*目标 1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者 之间的关系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在 的大致区间. 3.能借助函数单调性及图像判断零点个数. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数的零点概念 思考 函数的“零点”是一个点吗? 答案 不是,函数的“零点”是一个数,一个使f(x)=0的实数x. 实际上是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标. 答案 梳理 概念:函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图像与横轴的交点的 横坐标 . 方程、函数、图像之间的关系: 方程f(x)=0 有实数根 ?函数y=f(x)的图像 与x轴有交点 ?函数y=f(x) 有零点 . 知识点二 零点存在性定理 思考 函数零点有时是不易求或求不出来的.如 f(x)=lg x+x.但函数值易 1 1 1 1 9 求,如我们可以求出 f(10)=lg 10+10=-1+10=-10,f(1)=lg 1+1=1. 那么能判断 f(x)=lg x+x ?1 ? ? , 1 在区间? ? ?内有零点吗? 10 ? ? 答案 梳理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是 连续曲线 , 并 且 在 区 间 端 点 f(b)<0 ,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至 的函数值符号相反,即 f(a)· 少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 这个结论可称为函数零点的存在性定理. 题型探究 类型一 求函数的零点 x=1或x=10 例1 函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为______________. 解析 由(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0, ∴lg x=0或lg x=1,∴x=1或x=10. 解析 答案 反思与感悟 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像 与x轴交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函 数零点时,所写的一定是一个数字,而不是一个坐标. 4 跟踪训练1 函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是____. 解析 f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)(x+1) =(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3). 可知零点为±1,-2,3,共4个. 解析 答案 类型二 判断函数的零点所在的区间 例2 根据表格中的数据,可以断定方程ex-(x+2)=0(e≈2.72)的一个根 所在的区间是 x ex x+2 A.(-1,0) -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.40 4 3 20.12 5 B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析 答案 反思与感悟 在函数图像连续的前提下,f(a)· f(b)<0,能判断在区间(a,b)内有零点, 但不一定只有一个;而f(a)· f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点. 跟踪训练2 若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内, 2 则n=________. 解析 ∵函数f(x)=3x-7+ln x在定义域上是增函数, ∴函数f(x)=3x-7+ln x在区间(n,n+1)上只有一个零点. ∵f(1)=3-7+ln 1=-4<0,f(2)=6-7+ln 2<0,f(3)=9-7+ln 3>0, ∴函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(2,3)内, ∴n=2. 解析 答案 类型三 函数零点个数问题 命题角度1 判断函数零点个数 例3 求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数. 解答 反思与感悟 判断函数零点个数的方法主要有: (1)可以利用零点存在性定理来确定 零点的存在性,然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图 像交点的个数判定函数零点的个数. 跟踪训练3 求函数f(x)=ln x+2x-6零点的个数. 解 方法一 由于 f(2)<0 , f(3)>0 ,即 f(2)· f(3)<0 ,说明这个函数在区间 (2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅 有一个零点. 方法二 通过作出函数y=ln x,y=-2x+6的图像, 观察两图像的交点个数得出结论.也就是将函数f(x) =ln x+2x-6的零点个数转化为函数y=ln x与y= -2x+6的图像交点的个数. 由图像可知两函数有一个交点,即函数f(x)有一个零点. 解答 命题角度2 根据零点情况求参数范围 例4 f(x)=2x· (x-a)-1在(0,+∞)内有零点,则a的取值范围是 A.(-∞,+∞) C.(0,+∞) 解析 B.(-2,+∞) D.(-1,+∞) 1x 由题意可得 a=x-(2) (x>0). 1x 令 g(x)=x-(2) ,该函数在(0,+∞)上为增函数, 可知g(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,f(x)在(0,+∞)内有零点. 解析 答案 反思与感悟 为了便于限制零点个数或零点所在区间,通常要对已知条件进行变形, 变形的方向是:(1)化为常见的基本初等函数; (2)尽量使参数与变量分 离,实在不能分离,也要使含参数的函数尽可能简单. 跟踪训练4 若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一 个零点,则实数m的取值范围是 A.(-∞,1- 2]∪[1+ 2,+∞) B.(-∞,1- 2)∪(1+ 2,+∞) 5 1 C.[-6,-2] 5 1 D.(-6,-2) 解析 答案 当堂训练 1.函数y=x的零点是 A.(0,0) C.x=1 √ B.x=0 D.不存在 1 2 3 4 5



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