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北京师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷含答案

发布时间:

北京师大附中 2019 届上学期高中三年级期中考试
数学试卷(理科)
本试卷有三道大题,考试时长 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
? ? 1. 若集合 A ? ?x | x ? 4 ? 0?, B ? x | ex ?1 ,则 A B ? ( )

A. R

B. (??, 4)

C. (0,4)

2. 已知 i 为虚数单位,则复数 2i =( 1? i

A. 1? i

B. ?1? i

3. 在极坐标系中,曲线 ? ? 2cos? 是(


C. ?1? i


D. (4, ??) D. 1? i

A. 过极点的直线

B. 半径为 2 的圆

C. 关于极点对称的图形

D. 关于极轴对称的图形

4. “? ? ? ? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ? 1 ”的( )

6

2

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5. 若偶函数 f (x)(x ? R) 满足 f (x ? 2) ? f (x) 且 x ?[0,1] 时, f (x) ? x ,则方程 f (x) ? log3 | x | 的根

的个数是( )

A. 2 个

B. 4 个

C. 3 个

D. 多于 4 个

6. 在 * 面 直 角 坐 标 系 中 , 角 α 的 顶 点 在 原 点 , 始 边 在 x 轴 的 正 半 轴 上 , 角 α 的 终 边 经 过 点 M

(? cos ? ,sin ? ) ,且 0 ? ? ? 2? ,则? =( )
88

?
A.
8

3?
B.
8

5?
C.
8

7?
D.
8

7. 已知函数 f (x) ? xex ? ex ,函数 g(x) ? mx ? m(m ? 0) ,若对任意的 x1 ?[?2, 2] ,总存在 x2 ?[?2, 2]

使得 f (x1) ? g(x2 ) ,则实数 m 的取值范围是( )

A. [?3e?2, 1] 3

B. [e2 , ??)

C. [1 , e2 ] 3

D. [1 , ??) 3

8. 已知在直角三角形 ABC 中,A 为直角,AB=1,BC=2,若 AM 是 BC 边上的高,点 P 在△ABC 内部或

边界上运动,则 AM BP 的取值范围是( )

A. [?1, 0] C. [? 3 , 1]
42

B. [? 1 , 0] 2
D. [? 3 , 0] 4

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
? ? 9. 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 4a1, 2a2 , a3 成等差数列。 若 a1 ? 1,则 S3 ? __________。

10.

设函数

f

(x)

?

??x ?

?

1 , x ? 0, x

则 f [ f (?1)] =______________;函数 f (x) 的极小值是__________。

???x2 ? 4x, x ? 0.

11. 函数 f (x) ? sin(2x ??)(? ? 0) 的图像向左*移 ? 个单位,得到偶函数 g(x) 的图像,则? 的最大值 6
是_____________。
12. 在四边形 ABCD 中,AB=3。 若 DA ? 2 CA ? 1 CB ,则 AB DC ? _________。 33

13. 已知函数 y ? g(x) 的图象由 f (x) ? sin 2x 的图象向右*移? (? >0)个单位得到,这两个函数的部

分图象如图所示,则? =_____________。(请写出符合题意的一个值)

14. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f (x) ? x2 ? 2ax ? a ,其中 a ? R 。 ① f (? 1) ? _______________; 2 ②若 f (x) 的值域是 R,则 a 的取值范围是_____________。
三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. (本小题 13 分)
已知函数 f (x) ? 3 sin(2x ? ? ) ? 2sin x cos x ?1 。 6
(I)求函数 f (x) 的单调递增区间;

(II)当

x ?[? ?

? ,

] 时,求函数

f

(x)

的最大值和最小值。

44

16. (本小题 13 分)

? ? 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a8 ? 4, a13 ? 14 。

(I)求数列?an? 的通项公式;

(II)求 Sn 的最小值及相应的 n 的值;

? ? (III)在公比为 q(q ? 1) 的等比数列 bn 中, b2 ? a8, b1 ? b2 ? b3 ? a13 ,求 q ? q4 ? q7 ?
17. (本小题 13 分)

? q3n?4 。

在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 3a ? 2b sin A ? 0 。

(I)求角 B 的大小;

(II)若 a ? c ? 5, b ? 7 ,求△ABC 的面积。

18. (本小题 14 分)
已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? ln x 。 2
(I)当 a ?1时,求函数 f (x) 在 x ?1 处的切线方程;

(II)求函数 f (x) 的单调区间;

(III)求证:当 a ?1时,函数 f (x) 的图像与函数 g(x) ? 2 x3 的图像在区间[1, ??) 上没有交点。 3

19. (本小题 14 分)

已知函数 f (x) ? ln x 在 x ?1处的切线与直线 y ? 1 x *行。

x?a

2

(I)求实数 a 的值;

(II)如果函数 g(x) ? (x ?1) f (x) ? mx 在区间[1 , e2 ] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(III)求证:函数 f (x) 有极大值,而且 f (x) 的极大值小于 1。

20. (本小题 13 分)

已 知 数 集 A ? ?a1, a 2, an,? ? (a 1?1a ? 2 ? an n ? , 具 有2 )性 质

:对任意的

k(2 ? k ? n), ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 ak ? ai ? a j 成立。
(I)分别判断数集?1,3, 4? 与?1, 2,3,6? 是否具有性质 ,并说明理由;
(II)求证: an ? 2a1 ? a2 ? ? an?1(n ? 2) ; (III)若 an ? 72 ,求数集 A 中所有元素的和的最小值。

参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

D

A

B

D

B

D

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9. 7;

10. 10 ; 2; 3

11. ? 5? ; 6

12. 3;

13. ? (答案不唯一); 3

14. (1) ? 1 ;(2) (??, 0] [1, ??) ; 4

三、解答题(共 80 分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题 13 分) 解:(I)

f (x) ? 3( 3 sin 2x ? 1 cos 2x) ? sin 2x ?1

2

2

? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ?1

2

2

? sin(2x ? ? ) ?1 3

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? ,

2

3

2

得 k? ? 5? ? x ? k? ? ? ,

12

12

所以,函数 f (x) 的单调递增区间是[k? ? 5? , k? ? ? ], k ? Z ;

12

12

(II) f (x) ? sin(2x ? ? ) ?1,由 x ?[? ? , ? ],得 ? ? ? 2x ? ? ? 5? ,

3

44

6

36

当 2x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, f (x) 有最大值 f ( ? ) ? 1?1 ? 2 ;

32

12

12

当 2x ? ? ? ? ? ,即 x ? ? ? 时, f (x) 有最小值 f (? ? ) ? ? 1 ?1 ? 1 ;

36

4

42 2

16. (本小题 13 分)

? ? 解:(I)设等差数列 an 的首项为 a1 ,公差为 d,

由已知可得 a1 ? 7d ? 4, a1 ?12d ? 14 ,

解得 d ? 2, a1 ? ?10 。

所以 an ? ?10 ? 2(n ?1) ? 2n ?12 。

(II)令 an ? 0 ,即 2n ?12 ? 0 ,解得 n ? 6 ,

所以,当 n ? 1, 2,3, 4,5 时, an ? 0 ; a6 ? 0 ; n ? 7,8, 时, an ? 0 。

所以,当 n ? 5 或 n ? 6 时, Sn 最小。

S5

?

S6

?

5 2

(a1

?

a5 )

?

5 ? (?10 ? 2

2)

?

?30 。

(III)依题意, b1q ? 4, b1 ? b1q ? b1q2 ? 14 ,

即 b1q ? 4,b1 ? 4q ? 10 ,消去 b1 ,得 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , 解得 q ? 2 或 q ? 1 (舍),
2 当 q ? 2 时,所求数列是以 2 为首项,8 为公比的等比数列,

所以, q ? q4 ? q7 ?
17. (本小题 13 分)

? q3n?4 ? 2 (23n?6 ?1) ; 7

解:(I)因为 3a ? 2b sin A ? 0 ,由正弦定理得: 3 sin A ? 2sin B sin A ? 0

在锐角△ABC 中, sin A ? 0,所以 3 ? 2sin B ? 0 ,即 sin B ? 3 2

又 B ? (0, ? ) ,所以 B ? ? ;

2

3

(II)因为 a ? c ? 5 ,所以 a2 ? c2 ? 2ac ? 25 ① 由余弦定理得: a2 ? c2 ? 2ac cos ? ? 7 ,即 a2 ? c2 ? ac ? 7 ②
3

由①②解得: ac

? 6 ,所以 S?ABC

?

1 2

ab sin

B

?

1 2

?6?

3?3 3; 22

故所求△ABC 的面积是 3 3 2
18. (本小题 14 分)
解:(I)当 a ?1时,函数 f (x) 在 x ?1 处的切线方程是 y ? 2x ? 3 ; 2

(II) f '(x) ? ax ? 1 , x
当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0, ? 1 ) ,单调减区间是 ( ? 1 , ??) ;

a

a

(III)令 h(x) ? g(x) ? f (x) ? 2 x3 ? 1 x2 ? ln x , 32
可以证明函数 h(x) 的最小值是 h(1) ? 1 ? 0 ,所以 h(x) ? 0 恒成立, 6
所以两个图像没有交点。 19. (本小题 14 分)

1 (x ? a) ? ln x 1? a ? ln x

解:(I) f '(x) ? x (x ? a)2

?x



(x ? a)2

因为函数 f (x) 在 x ?1 处的切线与直线 y ? 1 x *行, 2

所以

f

'(1)

?

1? a (1? a)2

?

1 2

,解得 a

?1;

当 a ?1时,函数 f (x) 在 x ?1 处的切线是 y ? 1 x ? 1 ,与直线 y ? 1 x *行,符合题意;

22

2

所以 a ?1;

(II)两种方法,

m

?[

2 e2

,

1) e



(III)

f

(x)

?

ln x , x ?1

f

'( x)

?

1? 1 ? ln x
(x ?1)2

x

,令

g(x)

?1?

1 x

? ln

x



g '(x) ? ? 1 ? 1 ? 0,则函数 g(x) ? 1? 1 ? ln x 在 (0, ??) 上单调递减, g(1) ? 2 ? 0 ,

x2 x

x

g(e2 )

?

1 e2

?1?

0

,所以存在唯一的

x0

? (1, e2 ) ,当

x ? (0,

x0 )

时,

f

'(x)

?

0

,当

x ? (x0 , ??)

时,

f '(x) ? 0,所以函数 f (x) 的单调递增区间是 (0, x0 ) ,单调递减区间是 (x0 , ??) ,其中 x0 ? (1, e2 ) ,所以

函数 f (x) 有极大值。

函数

f

(x)

的极大值是

f

(x0 )

?

ln x0 ,由 x0 ?1

f

'(x0 )

?

0 ,得1?

1 x0

? ln

x0

?

0,

1? 1

所以

f (x0 ) ?

ln x0 ? x0 ?1

x0

x0 ?1

?

1 x0

,因为 x0 ? (1, e2 ) ,所以

1 x0

? 1 ,即

f (x0 ) ? 1 ,

所以, f (x) 的极大值小于 1。

20. (本小题 13 分)

解:(I)因为 3 ? 1?1,所以?1,3, 4? 不具有性质 。

因为 2 ?1? 2,3 ?1? 2,6 ? 3 ? 3 ,所以?1, 2,3,6? 具有性质

(II)因为集合 A ? ?a1, a2, , an? 具有性质 :
即对任意的 k(2 ? k ? n) , ?i, j(1 ? i ? j ? n) ,使得 ak ? ai ? a j 成立,

又因为 a ? a1 ? a2 ? ? an , n ? 2 ,所以 ai ? ak , a j ? ak

所以 ai ? ak ?1, a j ? ak ?1 ,所以 ak ? ai ? a j ? 2ak ?1

即 an ? 2an?1, an?1 ? 2an?2 , an?2 ? 2an?3, , a3 ? 2a2 , a2 ? 2a1
将上述不等式相加得
a2 ? ? an?1 ? an ? 2(a1 ? a2 ? ? an?1)

所以 an ? 2a1 ? a2 ? ? an?1
(III)最小值为 147。
首先注意到 a1 ? 1,根据性质 ,得到 a2 ? 2a1 ? 2
所以易知数集 A 的元素都是整数,
构造 A ? ?1, 2,3,6,9,18,36,72? 或者 A ? ?1, 2, 4,5,9,18,36,72?,这两个集合具有性质 ,此时元素
和为 147。 下面,我们证明 147 是最小的和
n
? 假设数集 A ? ?a1, a2, , an?(a1 ? a2 ? ? an, n ? 2) ,满足 S ? ai ? 147 最小(存在性显然,因为 i ?1

n
? 满足 ai ? 147 的数集 A 只有有限个)。 i ?1
第一步:首先说明集合 A ? ?a1, a2, , an?(a1 ? a2 ? ? an, n ? 2) 中至少有 8 个元素:

由(II)可知 a2 ? 2a1, a3 ? 2a2 …… 又 a1 ? 1,所以 a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 8, a5 ? 16, a6 ? 32, a7 ? 64 ? 72 , 所以 n ? 8 第二步:证明 an?1 ? 36, an?2 ? 18, an?3 ? 9 ;
n
? 若 36? A ,设 at ? 36 ,因为 an ? 72 ? 36 ? 36 ,为了使得 S ? ai 最小,在集合 A 中一定不含有元 i ?1
素 ak ,使得 36 ? ak ? 72 ,从而 an?1 ? 36 ;
假设 36? A ,根据性质 ,对 an ? 72 ,有 ai , a j ,使得 an ? 72 ? ai ? a j 显然 ai ? a j ,所以 an ? ai ? a j ? 144
而此时集合 A 中至少还有 5 个不同于 an , ai , a j 的元素, 从而 S ? (an ? ai ? a j ) ? 5a1 ? 149 ,矛盾,
所以 36? A ,进而 at ? 36 ,且 an?1 ? 36 ; 同理可证: an?2 ? 18, an?3 ? 9 (同理可以证明:若18? A ,则 an?2 ? 18 假设18? A 。 因为 an?1 ? 36 ,根据性质 ,有 ai , a j ,使得 an?1 ? 36 ? ai ? a j 显然 ai ? a j ,所以 an ? an?1 ? ai ? a j ? 144 ,
而此时集合 A 中至少还有 4 个不同于 an , an?1, ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an?1 ? ai ? a j ? 4a1 ? 148 ,矛盾,
所以18? A ,且 an?2 ? 18 同理可以证明:若 9 ? A ,则 an?3 ? 9 假设 9? A 因为 an?2 ? 18 ,根据性质 ,有 ai , a j ,使得 an?2 ? 18 ? ai ? a j

显然 ai ? a j ,所以 an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 144 而此时集合 A 中至少还有 3 个不同于 an , an?1, an?2 , ai , a j 的元素 从而 S ? an ? an?1 ? an?2 ? ai ? a j ? 3a1 ? 147 ,矛盾, 所以 9 ? A ,且 an?3 ? 9 ) 至此,我们得到了 an?1 ? 36 , an?2 ? 18 , an?3 ? 9 。
根据性质 ,有 ai , a j ,使得 9 ? ai ? a j 我们需要考虑如下几种情形: ① ai ? 8, a j ? 1,此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素 ak ,才能得到元素 8,则 S ?148 ; ② ai ? 7, a j ? 2 ,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素 ak ,才能得到元素 7,则 S ?148 ;
③ ai ? 6, a j ? 3 ,此时集合 A ? ?1, 2,3,6,9,18,36,72? 的和最小,为 147; ④ ai ? 5, a j ? 4 ,此时集合 A ? ?1, 2, 4,5,9,18,36,72?的和小,为 147。




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